Le chiffre 1 truque les comptes du monde

Une injustice cachée dans les chiffres

Notre intuition dit ceci : si on relève le premier chiffre d'une foule de nombres réels, les neuf chiffres possibles, de 1 à 9, devraient sortir à peu près autant. Soit environ 11,1 % chacun. C'est faux. Dans une quantité étonnante de jeux de données réels, près de 30,1 % des nombres commencent par un 1, environ 17,6 % par un 2, et la part décroît jusqu'aux 9, rares.

Ce déséquilibre porte un nom : la loi de Benford. On la retrouve dans des domaines qui n'ont rien à voir entre eux. Populations nationales, longueurs de rivières, hauteurs de montagnes, cours de Bourse, et même la collection bigarrée de nombres qui traîne dans un numéro de magazine scientifique. Le 1 domine, encore et encore.

Le plus troublant : la loi se moque des unités. Mesurez les rivières en mètres ou en miles, les prix en euros ou en dollars, les proportions de premiers chiffres tiennent bon. C'est même la seule distribution de premiers chiffres qui survit à un changement d'unité.

Des pages sales qui ont tout déclenché

Avant les calculatrices, on confiait les calculs pénibles à des recueils de logarithmes. En 1881, l'astronome Simon Newcomb remarque un détail : les premières pages de ces tables, celles des nombres commençant par 1, sont usées et noircies, bien plus que les dernières. Il en déduit que les petits premiers chiffres sont plus fréquents dans les données réelles, et publie les bons pourcentages.

L'idée tombe dans l'oubli. Puis, en 1938, le physicien Frank Benford fait la même observation et lui donne son envergure. Il compile plus de 20 000 valeurs pour montrer que le motif est partout. C'est son nom qui est resté, pas celui de Newcomb.

Pourquoi le 1 gagne

Une bonne image, c'est la croissance exponentielle. Imaginez une île peuplée de 100 animaux dont la population double chaque année. Pendant toute la première année, le premier chiffre reste 1, le temps de passer de 100 à 200. L'année suivante, le nombre traverse les 200 et les 300 dans le même laps de temps. Le premier chiffre change donc plus vite à mesure qu'il grandit.

La raison est simple : passer de 1 000 à 2 000 demande de doubler, alors que passer de 8 000 à 9 000 n'est qu'une hausse de 12,5 %. Le 1 occupe le terrain plus longtemps. Attention, la loi ne s'applique pas à tout. Les tailles d'adultes en mètres, ou les numéros d'une roulette, n'y obéissent pas. Elle aime surtout les données qui s'étalent sur plusieurs ordres de grandeur.

Quand les maths attrapent les menteurs

Voilà l'usage qui donne le frisson. Quelqu'un qui fabrique de faux chiffres a tendance à les répartir trop uniformément, sans le savoir. Ses données s'écartent alors de la loi de Benford. Le conseiller financier Wesley Rhodes a ainsi été condamné pour avoir floué des investisseurs : ses documents ne respectaient pas la distribution attendue des premiers chiffres, signe probable de fabrication.

La méthode a aussi servi à repérer un réseau de faux comptes sur Twitter, et a alimenté les soupçons sur des données truquées, des comptes macroéconomiques de la Grèce aux résultats de l'élection présidentielle iranienne de 2009. La leçon est claire. Les processus naturels favorisent les petits premiers chiffres, les fraudeurs maladroits, non.